2017高三数学理科一轮复习统计与概率专题突破训练

北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
统计与概率

一、选择、填空题
1、（东城区2016届高三二模）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查  了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 ， ， 由此得到频率分布直方图如图. 则产品数量位于 范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是　　　.
2、（丰台区2016届高三一模）对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率
（A） 75，0.25    （B）80,0.35  （C）77.5,0.25    （D）77.5,0.35
  第2题   第3题
3、（海淀区2016届高三二模）某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如右上图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在 小时内的人数为 ___ .
4、（昌平区2016届高三上学期期末）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：
 
下列叙述一定正确的是
A．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
5、（朝阳区2016届高三上学期期末）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
A． 辆          B． 辆      
C． 辆         D． 辆

6、（东城区2016届高三上学期期中）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5克 0.7克
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法中正确的是                                              (　　)
①买小包装实惠
②买大包装实惠
③卖3小包比卖1大包盈利多
④卖1大包比卖3小包盈利多
A．①③　　　   B．①④　　　C．②③                  D．②④
7、（石景山区2016届高三上学期期末）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）
根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.
卖家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4
意向股数 200 400 500 100

买家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4
意向股数 600 300 300 100
8、（2016年山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为   .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56    （B）60    （C）120   （D）140

9、（2016年全国I高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A）13            （B）12            （C）23          （D）34
10、（2016年山东高考）在 上随机的取一个数 ，则事件“直线 与圆 相交”发生的概率为  

二、解答题
1、（2016年北京高考）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A班 6    6.5    7     7.5      8
B班 6    7      8     9      10    11    12
C班 3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记  ，表格中数据的平均数记为  ，试判断 和 的大小，（结论不要求证明）

2、（2015年北京高考） ， 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随机各选1人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

3、（2014年北京高考）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 ，一
    场不超过 的概率.
（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 为李明
    在这比赛中的命中次数，比较 与 的大小（只需写出结论）

4、（朝阳区2016届高三二模）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为 ，五个级别规定如下：
交通指数  

级别 畅通 基本畅通 轻度拥堵 中度拥堵 严重拥堵
某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．
（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；
（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间 的数学期望．

5、（东城区2016届高三二模）在2015-2016赛季 联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数 ， 表示投篮次数， 表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.
    场次
球员  
 

根据统计表的信息:
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望.

6、（丰台区2016届高三一模） 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验.
（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.
①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率；
②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）.
(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E(Y)，请指出（Ⅰ）②中E（X）与E(Y)的大小关系.（只写结论,不需说明理由）

7、（海淀区2016届高三二模）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
型数量（台）
11 10 15  

型数量（台）
10 12 13  

型数量（台）
15 8 12  

(Ⅰ)求 型空调前三周的平均周销售量；
(Ⅱ)根据 型空调连续3周销售情况，预估 型空调连续5周的平均周销量为10台.
请问：当 型空调周销售量的方差最小时， 求 ， 的值；
(注：方差 ，其中 为 ， ，…， 的
平均数)
（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中 型空调台数 的分布列和数学期望.

8、（石景山区2016届高三一模）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 35 25  
10

已知分3期付款的频率为 ,请以此 人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；
（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用 表示销售一部苹果6S手机的利润，求 的分布列及数学期望．

9、（西城区2016届高三二模）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组： ， ， ， ， ，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）写出 的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.

10、（朝阳区2016届高三上学期期末）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；
（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

11、（大兴区2016届高三上学期期末）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：
甲班  乙班
      4 6    
     5 5 3 6 8  
    4 2 6 2 4 5 6 8
 9 8 8 7 63 7 3 5 4 4 5
9 7 6 5 3 3 0 8 1 4 5 9
 8 7 6 2 0 9 8 9  
           
（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值 与 及方差 与 的大小；（只需写出结论）
（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：
学业成绩 低于70分 70分到89分 不低于90分
学业水平 一般 良好 优秀
根据所给数据，频率可以视为相应的概率.
（ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件 ：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求 发生的概率；
（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记 为学业水平优秀的人数，求 的分布列和数学期望.

12、（丰台区2016届高三上学期期末） 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.
（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概
率 ；
（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为 ，
那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率 ；
（Ⅲ）该创业园区的 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为 . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的 和 的值，写出 ， ， 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.
参考答案
一、选择、填空题
1、 　　　2、D　　　3、58　
4、C　　　　　　5、D　　　6、D　
7、2.2，600　　　8、D　　　9、B
10、 ．
二、解答题
1、解析：⑴ ，C班学生40人
⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
设 班中取到第 个人事件为
C班中取到第 个人事件为
班中取到 的概率为
所求事件为
则


⑶
三组平均数分别为 总均值
但 中多加的三个数据 平均值为 ，比 小，
故拉低了平均值

2、解析：设事件 为“甲是A的第 个人”，
事件 为“乙是B组的第 个人”  
由题意可知  
(Ⅰ) 由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人或者第6人，或者第7人”甲的康复时间不少于14天的概率是

(Ⅱ)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”有题意知



(Ⅲ)
3、⑴ 李明在该场比赛中命中率超过 的概率有：
主场2  主场3  主场5  客场2  客场4
所以李明在该场比赛中投篮命中超过 的概率

⑵ 李明主场命中率超过 概率 ，命中率不超过 的概率为
客场中命中率超过 概率 ，命中率不超过 的概率为 ．

⑶  ．
4、解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，
    据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为
    260×0.25=65天.        ……………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可知 的可能取值为 ．
   且 ； ； ；
    ； ；
所以 ．
   …………………………………13分
5、解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，
分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是 .
在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是 . ---------------------------------------3分
（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件 ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件 ，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件 .
则 .------------------------------------------------7分
（Ⅲ） 的可能取值为 .
；
；
；
；
的分布列如下表：

.                 --------------------------------------------------------13分
6、 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.
         
        恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为 .-----4分
②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X的可能取值为1，2，3.
 ,  ， .
则X的分布列为：
 

所以：E（X）= --------------------------------------------11分
(Ⅱ)   ------------------------------------------------------------------13分
7、解: (I) 型空调前三周的平均销售量
台…………………2分
（Ⅱ）因为 型空调平均周销售量为 台，
所以 …………………4分
又
化简得到 …………………5分
因为 ，所以当 或 时， 取得最小值
所以当   或 时， 取得最小值…………………7分
（Ⅲ）依题意，随机变量 的可能取值为 ，…………………8分
,
,
, …………………11分

随机变量 的分布列为

随机变量 的期望 .…………………13分

8、解：（Ⅰ）由题意得 ，
所以 ，
又 ，所以 ．                ……………3分
（Ⅱ）设事件 为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，                                                          ……………4分
由题意得：随机抽取一位购买者，分 期付款的概率为 ，    ……………5分
所以 ．                      ……………7分
（Ⅲ）记分期付款的期数为 ，依题意得 ， ， ， ， ，
因为 可能取得值为 元， 元， 元，         ……………8分
并且易知 ，                 ……………9分
，               ……………10分
，                  ……………11分
所以 的分布列为

所以 的数学期望 ．…13分
9、（Ⅰ）解： .                                              ………………3分
（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.     ………………4分
     因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为 ，
     所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有 人，
                                                              ………………6分
     同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为 ，学生人数约有 人.
    所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有 人.
                                                               ………………8分
（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为 ，样本人数为 人.
同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为 人.
     故X的可能取值为1，2，3.                                  ………………9分
     则  ，   ，  .
 所以 的分布列为：

1 2 3

                                                              ……………… 12分
     所以 .                          ………………13分
10、解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则
 
所以选出的3名同学来自班级的概率为 ．         ……………………………5分
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则
；    ；  
；    ．  
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P  



随机变量X的数学期望
．    …………………………13分
11、（Ⅰ）           ……2分
                ……4分
（Ⅱ）（1）记A1、A2、A3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；
记B1、B2、B3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；
   
   
                         ……4分
（2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为 ，
则 =0，1，2，
          ……1分
       ……2分
           ……3分
则 的分布列为：

0 1 2
(或 )         ……5分
12、解：（Ⅰ）                                
   所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为             …………………………5分
（Ⅱ）                      
所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为            …………………………10分
（Ⅲ）