高一数学集合知识点总结
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）补集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，则? A ；
②若 ， ，则 ；
③若 且 ，则A=B（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z}
对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为
A）5个 B）6个 C）7个 D）8个
变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②
综①②得：所求集合为{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
Tags：平面几何 知识点 确定性
相关文章
-
2025-10-27
衡中学霸笔记：高一数学重要知识点总结，建议收藏打印
高中阶段，作为孩子们数学知识掌握的初期阶段，对于孩子们而言，一直是非常重要的一门学科，而孩子们要想学好数学这门学科，则是以基础知识的积累和掌握为主，以练题，做题，作为提升数学能力的手段。很多时候，因为熟能生巧，所以，很多时候，数学这门学科的学习，都是以练习为主的，只有锻炼到位..
-
2025-09-30
高中数学必修1-5各章常考知识点全整理！学渣看完后也能考120+..
高中数学必修1-5各章常考知识点全整理！学渣看完后也能考120+＞第一章】集合和函数的基本概念这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。..
-
2025-09-18
高中数学学习中五种常犯的错误，你知道吗？
高中数学与初中数学相比知识点多了很多，难度也有所提升，如果初中数学基础不太扎实的话，想短时间在高中提高数学成绩也是非常困难的，这里总结五种高中数学的常见错误，希望大家引以为戒。1、基础知识不牢固基础薄弱，基础知识学的不扎实，对知识点了解不够充分，这些都是高中数学学习与考试中的障..
猜你喜欢
-
2020-09-17
希拉莉是个丑八怪
一日，希拉莉在白宫的一块雪地上发现几个用尿写的字，“希拉莉是个丑八怪”。希拉莉大为震惊，立刻叫来私人秘书，限令在三天内查出是谁干的。2天之后，私人秘书来见希拉莉。“夫人，我给您带来了一个好消息，一个坏消息，以及一个非常坏的消息”。希拉莉想了一下：“先告诉我好消息吧”。“好消息是..
-
2020-01-29
高一到高三各个考点解题模板大全
我是小编。无论是高一好，亦或是高二、高三的复习中，各位学生、考生最需要突破突破的就是数学。很多学生，基础吃透了，即使在数学学科上花费大量时间去努力，然而，效果并不明显。小编来教大家一些高考数学复习实用解题方法技巧，如果认真去揣摩吃透好这些解题模板方法，还是不错的。小编的高考必..
-
2025-12-03
高考物理·解你燃眉之急：选择题突破三步法
高考物理选择题共8–10道（全国卷通常为8道），占总分48分左右，是决定物理能否上80+的关键战常很多同学失分并非不会，而是“会做却做错”——审题不清、思维定式、计算粗心、时间不足。为此，推荐“三步精准打击法”：第一步：限时训练+分类归因（练手感，找病根）每天限时15分钟，专练一套选择题�..
-
2021-06-01
让男人恐俱的可怕女汉子 我绝对不会让别人欺负他的
1、过年带女友回家，饭桌上，开始还挺斯文的,别说不喝酒就连菜都不好意思夹,老爸说：“闺女到这就像到自己家里一样，不要拘束，”从老爸句话过后，女友和老爸碰了一杯接着和小叔碰了一杯，接着两杯三杯。。。都喝的差不多了,女友和小叔掰腕子，和老爸唠家常，我拉女友别喝了，她竟然一把把我推到在..
-
2018-10-22
你今天怎么又没来上班
1、招聘要求里的“热爱生活”怎么理解？“不要在职期间自杀给公司添麻烦１2、今天上班，一同事请假没来，因为她的座位靠近空调，所以我坐到了他的座位上办公。结果经理路过看到我说：“小李啊，你今天怎么又没来上班？这个月全勤奖没了１说完人就转身离开了，容我冷静一下。。。3、面对投石问路，做..
