2017高考数首轮考点训练-算法初步与框图、推理与证明含答案解析

第十二章 算法初步与框图、推理与证明
考纲链接

1.算法的含义、程序框图
(1)了解算法的含义，了解算法的思想．
(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．
2．基本算法语句
了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
3．框图
(1)通过具体实例进一步认识程序框图．
(2)通过实例了解工序的流程图．
(3)能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．

(4)通过实例了解结构图．
(5)会运用结构图梳理已学过的知识结构、整理收集到的信息资料．
4．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．
5．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
6．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．
7．了解反证法的思考过程和特点．
§12.1　算法、程序框图、结构图

1．算法的概念及特点
(1)算法的概念
在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤．
(2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．
2．程序框图
(1)程序框图的概念
程序框图又称流程图，是一种用________、________及________来表示算法的图形．
(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能
图形符号 名称 功　　能

①　　　　　 表示一个算法的起始和结束

②　　　　　 表示一个算法输入和输出的信息

③　　　　　 赋值、计算

④　　　　　 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”

⑤　　　　　 连接程序框
○ ⑥　　　　　 连接程序框图的两部分
3.结构图
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．
4．算法的基本逻辑结构
(1)顺序结构

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式．
(2)条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式．

(3)循环结构
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是________．反复执行的步骤称为________．
循环结构有如下两种形式：
①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．
②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________．

自查自纠：
1．(1)规则　明确　有限　(2)确定　有序　有穷
2．(1)程序框　流程线　文字说明
(2)①终端框(起止框)　②输入、输出框　
③处理框(执行框)　④判断框　⑤流程线 ⑥连接点
4．(1)从上到下　依次执行　(3)循环结构　循环体  ①直到型循环结构　②当型循环结构

 下列各式中的S值不可以用算法求解的是(　　)
A．S＝1＋2＋3＋4
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋12＋13＋…＋110000
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解：由算法的有限性知，D不正确，而A，B，C都可以通过有限步骤操作，输出确定结果，故选D.
 给出下列算法：
第一步，输入正整数n(n>1)．
第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则输出n；若n>2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步．
第四步，输出n.
则输出的n的值是(　　)
A．奇数  B．偶数  C．质数  D．合数
解：根据算法可知n＝2时，输出n的值为2；若n＝3，输出n的值为3；若n＝4，2能整除4，则重新输入n的值，…，故输出的n的值为质数．故选C.
 (2014北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．1  B．3  C．7  D．15
解：由程序框图知：S＝1＋21＋22＝7.故选C.
 (2014辽宁)执行下面的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝____________．

解：输入x＝9，则y＝5，|y－x|＝4>1，不满足条件；x＝5，y＝113，|y－x|＝43>1，不满足条件；x＝113，y＝299，|y－x|＝49<1，满足条件，输出y＝299.故填299.
 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．

解：初始值s＝0，n＝2.第一次循环得s＝12，n＝4；第二次循环得s＝12＋14，n＝6；第三次循环得s＝12＋14＋16＝1112，n＝8，此时退出循环，输出的s＝1112.故填1112.

类型一　算法的概念
　下列语句是算法的个数为(　　)
①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；②中节约时间，烧水泡茶完成了任务；③中对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造；④是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．故选C.

点拨：
算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果．

　下列叙述能称为算法的个数为(　　)
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从宜昌乘火车到武汉，从武汉乘飞机到北京；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….
A．2  B．3  C．4  D．5
解：①②③可称为算法，④⑤不是，故选B.

类型二　经典算法
　“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．
解：在本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推．
(算法一)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；
第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；
第四步：依次加上35，得18，53，88，…；
第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数．
(算法二)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；
第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；
第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；
第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．

点拨：
给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．

　一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元．请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来．
解：算法如下：
第一步：把银元分成3组，每组3枚；
第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组内；
第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
类型三　顺序结构
　已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．
解：算法如下：
第一步：输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.
第二步：计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步：计算z2＝A2＋B2.
第四步：计算d＝z1z2.
第五步：输出d.
流程图如图所示．

点拨：
顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．

　阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是(　　)

A．75，21，32  B．21，32，75
C．32，21，75  D．75，32，21
解：该程序框图的执行过程是：输入21，32，75；x＝21；a＝75；c＝32；b＝21；输出75，21，32.故选A.
类型四　条件结构
　(2015深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函数：f(x)＝3x，f(x)＝sinx，f(x)＝x3，f(x)＝x＋1x，那么输出的函数f(x)为(　　)

A．f(x)＝3x   B．f(x)＝sinx
C．f(x)＝x3   D．f(x)＝x＋1x
解：依题意得，输出的函数应满足：f(－x)＝－f(x)(x∈R)，即函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋m)>f(x)，其中m>0，即函数f(x)是定义在R上的增函数．对于A，函数f(x)＝3x不是奇函数；对于B，函数f(x)＝sinx不是定义在R上的增函数；对于C，函数f(x)＝x3既是奇函数又是定义在R上的增函数；对于D，函数f(x)＝x＋1x的定义域不是实数集．综上所述，只能输出f(x)＝x3，故选C.

点拨：
条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．

　(2015栠国卷Ⅱ)如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)

A．0  B．2  C．4  D．14
解：执行该程序，输入a，b的值依次为a＝14，b＝18；a＝14，b＝4；a＝10，b＝4；a＝6，b＝4；a＝2，b＝4；a＝b＝2，此时退出循环，输出的a＝2.故选B.
类型五　循环结构
　(2014褠徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)

A．34  B．55  C．78  D．89
解：运行程序：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55，跳出循环，输出结果是55.故选B.

点拨：
如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的表述恰当、准确．

　(2015唠羖)根据下边的框图，当输入x为2006时，输出的y＝(　　)

A．28  B．10  C．4  D．2
解：初始条件：x＝2006.第1次运行：x＝2004；第2次运行：x＝2002；第3次运行：x＝2000；…；第1003次运行：x＝0；第1004次运行：x＝－2，不满足条件，跳出循环，所以输出的y＝32＋1＝10，故选B.
类型六　结构图
　总结高中所有有关函数的内容，画出知识结构图．
解：如图所示：

点拨：
画结构图时，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来标明各要素之间的关系．

　某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．
解：如图所示：

1．设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则．
2．画程序框图首先要进行结构选择，套用格式．若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，就必须引入条件结构；如果问题涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，应用循环结构．当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构．
3．循环结构的循环控制
通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否．用循环结构来描述算法，在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：(1)确定循环变量与初始条件；(2)确定循环体；(3)确定终止条件．注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在解决同一问题时恰好相反．解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当循环次数较多时，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．
4．在具体绘制程序框图时，要注意以下几点：
(1)流程线上要标有执行顺序的箭头．
(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)”．
(3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错．
(4)判断框内条件常用“>”“≥”“<”“≤”“＝”等符号，它们的含义是各不相同的，要根据所选循环结构的类型，正确地进行选择．
5．结构图与流程图的异同
相同点：绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，先确定组成系统的基本要素，以及这些要素之间的关系，然后画出框图表示整个系统．
不同点：流程图描述具有时间特征的动态过程，结构图刻画静态的系统结构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．结合下面的算法：
第一步：输入x.
第二步：判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
第三步：输出x－1.
当输入的x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为(　　)
A．－1，0，1  B．－1，1，0
C．1，－1，0  D．0，－1，1
解：根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为1，－1，0，故选C.
2．如图的程序框图输出的结果是(　　)

A．4  B．3  C．2  D．0
解：该算法首先将1，2，3三个数分别赋给x，y，z；然后先让x取y的值，即x变成2，再让y取x的值，即y的值是2，接着让z取y的值，即z的值为2，从而最后输出z的值为2.故选C.
3．(2014嘠坮)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于(　　)

A．[－6，－2]   B．[－5，－1]
C．[－4，5]   D．[－3，6]
解：由程序框图可得
S＝2t2＋1－3，t∈[－2，0），t－3，t∈[0，2]，
其值域为[－3，6]．故选D.
4．(2015輠建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为(　　)

A．2  B．1  C．0  D．－1
解：执行程序，得S＝0，i＝2；S＝－1，i＝3；S＝－1，i＝4；S＝0，i＝5；S＝0，i＝6＞5，跳出循环，输出S＝0.故选C.
5．(2014重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是(　　)

A．s＞12  B．s＞35  C．s＞710  D．s＞45
解：当输出k的值为6时，s＝1×910×89×78＝710，结合各选项知，C符合要求．故选C.
6．(2015栠国课标Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8
解法一：执行程序，S＝12，m＝14，n＝1；S＝14，m＝18，n＝2；S＝18，m＝116，n＝3；S＝116，m＝132，n＝4；S＝132，m＝164，n＝5；S＝164，m＝1128，n＝6；S＝1128<t＝0.01，m＝1256，n＝7，循环结束，输出n＝7.
解法二：记第n次循环后S的值为ann＝0，1，2，…，，其中a0＝1，则an＝an－1－12n，递推可得an＝a0－12＋122＋…＋12n＝1－121－12n1－12＝12n≤t＝0.01.
显然n>6，故n＝7.故选C.
7．(2015褠徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为________．

解：各次循环中变量a，n的取值如下表所示：
a 1.5 1.4 1.416

n 2 3 4
当a＝1.416时，跳出循环，输出的n为4.故填4.
8．(2014嘠北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．

解法一：当a＝123时，b＝321－123＝198≠123；
当a＝198时，b＝981－189＝792≠198；
当a＝792时，b＝972－279＝693≠792；
当a＝693时，b＝963－369＝594≠693；
当a＝594时，b＝954－459＝495≠594；
当a＝495时，b＝954－459＝495＝a，
终止循环，输出b＝495.
解法二：设I(a)＝100x＋10y＋z，D(a)＝100z＋10y＋x，x<y<z，x，y，z∈N*，则D(a)－I(a)＝99(z－x)，因此各位数字都不是0且没有重复数字，而且是99的倍数的三位数有：198，297，396，495，594，693，792，891，经检验知只有495满足题意．故填495.
9．某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜三者之一，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．请设计安全过河的算法．
解：第一步，人带羊过河．