2017高考数学首轮考点训练-选考内容含答案解析

第十三章  选考内容
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1.几何证明选讲
(1)理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．
(2)会证明和应用以下定理：
①直角三角形射影定理；
②圆周角定理；
③圆的切线判定定理与性质定理；
④相交弦定理；
⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；
⑥切割线定理．
2．坐标系与参数方程
(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
(4)了解参数方程，了解参数的意义．
(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
3．不等式选讲
(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：
①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；
②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．
(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；　|ax＋b|≥c；　|x－c|＋|x－b|≥a.
(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

§13.1　几何证明选讲

1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段____________．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必____________．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线____________．
2．平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________．
3．相似三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________，两三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成________且夹角________，两三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应________，两三角形相似．
注意：与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等．这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化．
4．相似三角形的性质定理
性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于____________．
性质定理2：相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于____________．
性质定理3：相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________．
5．射影定理
直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_________________________．
6．圆周角、圆心角和弦切角定理
①圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半．
②圆心角定理：圆心角的度数等于它所对______的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧____________．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．
③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的________．
7．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质定理：圆的内接四边形的对角____________．
推论：圆内接四边形的外角等于它的__________的对角．
(2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____________．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____________．
8．圆的切线的性质与判定定理
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．
9．相交弦定理
圆内的两条相交弦，________________________的积相等．
10．(1)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到__________________的两条线段长的积相等．
(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到______________________________的比例中项．
(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线平分____________的夹角．且____________切点弦．

自查自纠：
1．也相等　平分第三边　平分另一腰
2．成比例　成比例
3．相等　比例　相等　成比例
4．相似比　相似比　相似比的平方
5．两直角边在斜边上射影　比例中项
6．①圆心角　②弧　相等　也相等　直角　直径 ③圆周角
7．(1)互补　内角　(2)共圆　共圆
8．半径　切点　圆心　切线
9．被交点分成的两条线段长
10．(1)每条割线与圆的交点
(2)割线与圆交点的两条线段长
(3)相等　两条切线　垂直平分

 如图， 在△ABC中，AE＝ED＝DC，FE∥MD∥BC，FD的延长线交BC的延长线于点N，且EF＝1，则BN＝(　　)

A．2     B．3
C．4     D．6
解：∵FE∥MD∥BC，AE＝ED＝DC，
∴EFBC＝AEAC＝13，EFCN＝EDDC＝1，
∴EF＝CN，∴EFBN＝EFBC＋CN＝14，
∴BN＝4EF＝4.故选C.
 如图AD是△ABC的中线，E是CA边靠近C点的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为(　　)

A．2∶1     B．3∶1
C．4∶1     D．5∶1
解：过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝12EC，又AE＝2EC，△DGF∽△AEF，

故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶12EC＝4∶1.故选C.
 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则(　　)

A．CECB＝ADDB
B．CECB＝ADAB
C．ADAB＝CD2
D．CEEB＝CD2
解：在△ACB中，因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，所以CD2＝ADDB.又由切割线定理得CD2＝CECB，所以CECB＝ADDB.故选A.

 如图，过点D作圆的切线切圆于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________.

解：由切割线定理得：BD2＝CDAD，得CD＝94.
又∵∠A＝∠DBC，∠D＝∠D，
∴△ABD∽△BCD，BDCD＝ABBC，解得BC＝32.故填32.
 (2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝____________．

解：由切割线定理，知PA2＝PC倠D，即62＝3PD，解得PD＝12，∴CD＝PD－PC＝9，∴CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AEBE＝CEED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.故填2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　平行线分线段成比例定理的应用
　如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.

(1)求AC的长；
(2)求CD2BC2的值．
解：(1)∵EF∥CD，∴AEAD＝AFAC.
∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，∴66＋3＝8AC，
∴AC＝12.
(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，
又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B.
又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34，∴CD2BC2＝916.

点拨：
求长度或比值考虑相似，有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，即创造可以形成比例式的条件，从而达到计算或证明的目的．

　(1)如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，AD交BE于G，求证：AG＝2GD.

证明：作CH∥EB交AD的延长线于点H，
∵AE＝EC，CH∥EB，∴AG＝GH.
又∵BD＝DC，
∴△BDG≌△CDH.
∴GD＝DH.∴AG＝2GD.

(2)在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：ABAC＝BDDC.
证明：如图，过C作CE∥AD，交BA延长线于E，

∵AD∥CE，∴BAAE＝BDDC.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
由AD∥CE知∠BAD＝∠E，
∠DAC＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠E，即AE＝AC.
∴ABAC＝BDDC .
类型二　相似三角形的判定及性质
　如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F，求证：ABAC＝DFAF.

证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴△ABD∽△CAD，
∴ABAC＝BDAD.①
又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，
∴∠4＝∠3＝∠ACB＝∠1，而∠AFD为公共角，
∴△FBD∽△FDA，
∴BDAD＝DFAF，②，由①②可得ABAC＝DFAF.

点拨：
(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来间接证明线段相等或计算线段长度．

　 (2014中原名校联考)如图， 三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若三角形ABC的面积S＝12ADAE，求∠BAC的大小．
解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD，因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以ABAD＝AEAC，　※
又S＝12ABAC猠椀渀∠BAC且S＝12ADAE，故ABAC猠椀渀∠BAC＝ADAE，由※可知ABAC＝ADAE，则sin∠BAC＝1，又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.
类型三　射影定理的应用
　如图所示，已知在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝14AD，过AB的中点F作HF⊥EC于H.

(1)求证：FH＝FA；
(2)求EH∶HC的值．
解：(1)证明：连结EF，FC，在正方形ABCD中，

AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°.
∵AE＝14AD，F为AB的中点，
∴AEAF＝FBBC ＝12.
∴△EAF∽△FBC.
∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠BCF.
又∠A＝∠B＝90°，∴∠EFC＝90°，EFFC＝AEBF＝AEAF＝12.
又∵∠EFC＝∠A＝90°，∴△EFC∽△EAF.
∴∠AEF＝∠HEF.
又EF＝EF，
∴Rt△EAF≌Rt△EHF.∴FH＝FA.
(2)由(1)知△EFC是直角三角形，FH是斜边EC上的高，
由射影定理可得EF2＝EHEC，FC2＝CHCE，于是EH∶HC＝EF2∶FC2＝1∶4.

点拨：
①一般四边形问题须转化为三角形(最好是Rt△)问题研究，故自然要连结EF，FC，第(1)问也可由勾股定理求出FH的长来证；②图中有2对全等三角形，8对相似三角形，能洞察这些，解此题会游刃有余；③第(2)问由EH∶HC＝AE∶BC求，更简洁．

　如图所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GFHF.

证明：∵∠H＋∠BAC＝90°，
∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.
∵∠AFH＝∠GFB＝90°，
∴△AFH∽△GFB，∴HFBF＝AFGF，
∴AFBF＝GFHF.
因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AFBF，
∴DF2＝GFHF.
类型四　圆内接四边形的性质及判定定理的应用
　(2015哈三中一模)如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC，AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG并延长交CB于点F.

(1)求证：C，D，G，E四点共圆；
(2)若F为EB的靠近点E的三等分点，EG＝1，GA＝3，求线段CE的长．
解：(1)证明：连接BD，则∠AGD＝∠ABD，∠ABD＋∠DAB＝90°，∠C＋∠CAB＝90°，所以∠C＝∠AGD，所以∠C＋∠DGE＝180°，所以C，D，G，E四点共圆．
(2)因为EGEA＝EB2，所以EB＝2，又F为EB的三等分点，所以EF＝23，FB＝43，
又因为FGFD＝FEFC＝FB2，所以FC＝83，CE＝2.

点拨：
①直径所对圆周角为直角，故考虑连BD；②证明四点共圆，即证明这四点构成的四边形对角互补；③已知条件为EG及GA的长度，自然考虑计算EB，从而求得FGFD，再计算EC即可．

　(2014新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，
所以△ADE为等边三角形．
类型五　圆的切线及与圆有关的比例线段
　(2015唠羖)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.

(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．
解：(1)证明：∵DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，
又BC⊥DE，∴∠CBD＋∠EDB＝90°，
从而∠CBD＝∠BED.
又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，
∴∠CBD＝∠DBA.
(2)由(1)知BD平分∠CBA，
则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，
∴AC＝AB2－BC2＝4，∴AD＝3.
由切割线定理得AB2＝ADAE，即AE＝AB2AD＝6，
故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.

点拨：
①与切线有关的角的证明问题，一般都要用到弦切角定理；②计算与圆相关的线段长度问题，一般都要用到圆幂定理；③注意三角形内角平分线定理的灵活应用．

　(2015吉林长春调研)如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F.已知BC＝5，BD＝10.

(1)求AB的长；(2)求CFDE.
解：(1)根据弦切角定理，
知∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DAB，
∴△ABC∽△DBA，则ABDB＝BCBA，
故AB2＝BCBD＝50，AB＝52.
(2)根据切割线定理，知CA2＝CBCF，DA2＝DBDE，
两式相除，得CA2DA2＝CBDBCFDE，*
由△ABC∽△DBA，得ACDA＝ABDB＝5210＝22，CA2DA2＝12，
又CBDB＝510＝12，由*得CFDE＝1.

1．用添加平行辅助线的方法构造平行线，是创造应用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件．在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意线段与边的对应．
2．在证明两个或两个以上的比例式相等时，往往需要找第三个比例式与它们都相等，这时可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，或考虑用线段代换，由相等的传递性得出结论．
3．证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先探求是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再探求等角的两边对应成比例．
4．等积式的证明是一种常见题型，其证题思路一般是化等积式为比例式，再由三角形相似或平行线分线段成比例定理证明．
5．注意在证明圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，添加辅助线的目的是为了打通已知与未知的通道，构造需要的边、角、三角形，如构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质．要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上某一点，那么连接这点和圆心，证明该直线垂直于半径；如果不知直线和圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点．
6．证明多点共圆的常用方法
(1)证明几个点到某个定点距离相等；

(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等(例：如图，若∠ACB＝∠ADB＝90°，则A，B，D，C四点共圆)．
(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．
7．相交弦定理、切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比或比例式．

1．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(　　)

A.154   B．7 C.152   D.245
解：由已知条件∠AED＝∠B，∠A为公共角，所以△ADE∽△ACB，则有DEBC＝AEAB，从而BC＝6×108＝152.故选C.
2．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为(　　)

A.52   B.255 C.355   D.32
解：延长BO交⊙O于点F，由相交弦定理可知：BDDF＝ADDE.又由题知BD＝1，DF＝3，AD＝5，因此DE＝355.故选C.
3．如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F.若CD＝2，CB＝22，则EF的长为(　　)

A．1  B.2  C．2  D．22
解：连结PB，BC切⊙P于点B，PB⊥BC，CD＝2，CB＝22，由切割线定理得CB2＝CDCE，CE＝4，DE＝2，BP＝1，又∵EF⊥CE，∴△CPB∽△CFE，得EFPB＝CECB，解得EF＝2.故选B.
4．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.

给出下列三个结论：
①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
②AFAG＝ADAE；
③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是(　　)
A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③
解：∵CF＝CE，BF＝BD，∴BC＝CE＋BD.
∴AB＋BC＋CA＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE.故结论①正确．
由切割线定理知AD2＝AFAG，又AE＝AD，∴ADAE＝AFAG，故结论②正确．容易判断结论③不正确．故选A.
5．(2015天津)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为(　　)

A.83   B．3 C.103   D.53
解：由题意可得CM×MD＝AM×MB＝AN×NB＝CN×NE，即2×4＝3NE，解得NE＝83.故选A.
6．(2014天津)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，

给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF； ②FB2＝FDFA；
③AECE＝BEDE； ④AFBD＝ABBF.
则所有正确结论的序号是(　　)
A．①②  B．③④  C．①②③  D．①②④
解：由弦切角定理得∠FBD＝∠EAC＝∠BAE，又∠BFD＝∠AFB，故△BFD∽△AFB，故BFAF＝BDAB，即AFBD＝ABBF，④对，否定A，C.显然②正确．故选D.
7．(2014重庆)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次分别交圆于B，C，若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝__________．
解：如图，

由PA2＝PB倠C得62＝PB(PB＋9)，解得PB＝3.再由∠C＝∠BAP及∠P为公共角得△ABP∽△CAP，∴ABCA＝BPAP，∴AB＝4.故填4.
8．(2015缠东)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝__________．

解：由题意得OP＝12BC＝12，OA＝2，于是PA＝CP＝22－122＝152，由于∠DCP＝∠B＝∠POA△DCP∽△AOP，于是PDPA＝PCPO倡D＝15212×152＝152，那么OD＝152＋12＝8.故填8.
9．(2015嘠坮)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：

(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；
(2)FEFN＝FMFO.
证明：(1)如图所示，∵M，N分别是弦AB，CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝∠ENO＝90°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.

(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFN＝FMFO.
10．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.

(1)求证：AB倠C＝PAAC；
(2)求ADAE的值．
解：(1)证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB＝∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，∴ABAC＝PAPC，∴AB倠C＝PAAC.
(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，
∴PA2＝PB倠C，∴PC＝40，BC＝30，
又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝900，

又由(1)知ABAC＝PAPC＝12，∴AC＝125，AB＝65，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，△ACE∽△ADB，ABAE＝ADAC，ADAE＝ABAC＝65×125＝360.
11．(2014新课标Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

(1)BE＝EC；(2)ADDE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.

∵∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，
∴∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB倠C.
∵PA＝PD＝DC，∴DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得ADDE＝BDDC，
∴ADDE＝PB㈠倀B＝2PB2.
 (2015栠国Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．

(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．
解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的平分线．

又∵⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，∴AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，∴O在AD上．
连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，∴∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．
∵AE＝23，∴AO＝4，OE＝2.
∵OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，∴OD＝1.
于是AD＝5，AB＝1033.
∴四边形EBCF的面积为
12×10332×32－12×(23)2×32＝1633.